задачи, решения и ответы математической олимпиады Кенгуру

Условия задач

Задача 1. Студент, 3й уровень, 1998 год
Сколько существует наборов из двух или более последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 100?
А:1; Б:2; В:3; Г:4; Д:5;

Задача 2. Юниор, 3й уровень, 2003 год
Мы выписали все натуральные числа от однозначных до семизначных, в записи которых используются только 0 и 1. Сколько единиц мы записали?
А:128; Б:288; В:448; Г:512; Д:896;

Задача 3. Кадет, 3й уровень, 2005 год
Чему равняется условие задачи 303^2+404^2?
А:вариант ответа 707^2; Б: вариант ответа 606^2; В: вариант ответа 505^2; Г: вариант ответа 808^2; Д: ; вариант ответа 808^2

Задача 4. Школьник, 3й уровень, 1999 год
В каждом из пяти стаканов кофе, какао или молоко. Общий объём кофе вдвое больше объёма какао. Известно, что ни в каких трёх стаканах нет одинакового напитка. В каком стакане какао?
5 стаканов

Задача 5. Малыш, 3й уровень, 2006 год
Детская игрушка подвешена к потолку и находится в равновесии. Одинаковые фигурки весят одинаково. Шарик весит 30 граммов. Сколько весит кубик, отмеченный знаком вопроса?
конструкция из задачи
А:10г; Б:20г; В:30г; Г:40г; Д:50г;

Решения

Задача 1.
Сначала заметим, что суммой двух последовательных чисел число 100 не получить, т.к. из двух последовательных, одно будет конкурс чётным, а другой нечётным, и их сумма обязательно будет нечётным числом. Если же сложить 3 последовательных натуральных числа: n+n+1+n+2, то их сумма 3n+3 будет обязательно делиться на 3, следовательно, и здесь мы число 100 не получим. Для четырёх слагаемых окажется, что их сумма n+n+1+n+2+n+3=4n+6 даёт остаток 2 при делении на 4, а 100 делится на 4 нацело, итак, и здесь неудача.

Рассмотрим в общем случае сумму k последовательных натуральных чисел.
n+n+1+n+2+...+n+k-1=kn+k(k-1)/2
Отсюда видно, что при нечётных k сумма будет делиться на k, а при чётных k сумма k последовательных натуральных чисел будет давать остаток k/2 при делении на k, и, следовательно, будет делиться на k/2.

Выясним теперь, какое наибольшее количество последовательных слагаемых может образовать сумму в 100. Поскольку наименьшая по величине сумма из 14-ти слагаемых 1+2+...+14=1415/2=105>100, то достаточно перебрать все k, не большие 13-ти. Из нечётных подходит только 5, т.к. на 7, 9, 11 или 13 число 100 не делится. Из чётных подходит только 8 (100=128+4).

Можно привести и соответствующие разбиения:
100=18+19+20+21+22
100=9+10+11+12+13+14+15+16
Итак, ответ Б:2 способа.
Кстати, интересно найти трёхзначное число, которое можно представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел наибольшим количеством способов. Но это уже совсем другая история :-).

Задача 2.
Хмм… интересно. Цифры 0 и 1, а также варианты ответа А:128 и Г:512 наталкивают на мысль об использовании двоичной системы счисления. И вправду, задачу можно переформулировать так: сколько единиц используется в двоичной записи всех чисел от 1 (даже от 0, на ответ это не повлияет) до 127? (от 0000000 до 1111111?)

Но ведь из этих 128-ми чисел в каждом из семи двоичных разрядов ровно у половины стоит единица, у другой половины – 0. Имеем 764=448 единиц во всех числах. Ответ В: 448.

Задача 3.
Первый вариант ответа 303^2+404^2=707^2 заставляет вспомнить о правильно-неправильных сокращениях и выносах из корня, когда выполняя неверные с математической точки зрения действия мы получаем верный результат. Однако вряд ли здесь это. Вариант 303^2+404^2=505^2 больше похож на правду, учитывая, что для близких к данным в условии числам 300, 400 и 500 равенство выполняется (увеличенный в 100 раз египетский треугольник).

Стоп! А если мы египетский треугольник увеличим не в 100, а в 101 раз, что получим? Как раз эту тройку: 303, 404, 505. Значит, окончательно, ответ В: правильный ответ 505^2

Задача 4.
Вопрос звучит «В каком стакане какао?», значит, стакан с какао один. Тогда в двух из остальных четырёх стаканов кофе, и в двух – молоко.

В первом стакане какао быть не может, т.к. его объём максимальный и 2 других стакана не смогут занимать вдвое больший объём. А второй стакан (750г) подходит, тогда кофе будет в первом и третьем стаканах (950+550). Поскольку тест предполагает однозначный ответ, на этом можно и остановиться, сэкономив драгоценное время на решение других задач. Нам же с вами можно спокойно посидеть и убедиться, что действительно ни для какого из оставшихся стаканов нельзя найти двух других таких, чтобы они занимали вдвое больший объём. Ответ Б.

Задача 5.
Обратим внимание, что в формулировке задачи не говорится стандартная фраза «весом самой конструкции можно пренебречь». А ведь она и действительно не нужна – все перекладины уравновешивают друг друга и на решение не влияют.

Из правой части заметим, что трапеция равна по весу двум шарикам.
Из левой части одно сердечко равно по весу двум кубикам.
Значит, 6 кубиков равны четырём шарикам. 6 кубиков весят 120г, значит 1 кубик весит 20г. Ответ Б.

<Назадк предыдущему пакету задач математической олимпиады Кенгуру|к следующему пакету задач математической олимпиады КенгуруДалее>


Источник: http://intelmath.narod.ru/kangaroo-problems_1_5.html


Закрыть ... [X]

Когда состоится математический конкурс (олимпиада) Сценарии на 8 марта на вечер

Конкурс решения математических задач Решения и ответы задач математической олимпиады
Конкурс решения математических задач Образовательный портал Математика для всех
Конкурс решения математических задач Математический конкурс Кенгуру, Россия
Конкурс решения математических задач Российская страница международного
Конкурс решения математических задач 1 апреля -конкурс на самый смешной костюм и причёску
Конкурс решения математических задач Ежегодные конкурсы НРА
Конкурс решения математических задач Журнал Самиздат.Издательский Дом Фома. Конкурс Святки
Конкурс решения математических задач Идеи оригинальных подарков на день рождения
Конкурс решения математических задач Как украсить комнату. Детский праздник своими руками. Снова
Каким должно быть поздравление матери на свадьбе Конкурсы: зачем они нужны? - Система ГАРАНТ Кулинарный Эдем Новости - The XV International Tchaikovsky Competition Официальный сайт RuNail - материалы для Поздравления выпускникам 4 класса в стихах - Поздравления на Выпускной Самые красивые белоруски (Топ-24) Статусы Воровского, блатного, тюремного жаргона Стихи красивые с Днем России короткие, с юмором пожелания